Transformations du Plan Complexe

Effets géométriques de l'addition, de la multiplication et de l'inversion $z \mapsto \frac{1}{z}$ sur le plan complexe.

$\Re(z)$ 2.0

$\Im(z)$ 1.0

$\Re(w)$ 1.0

$\Im(w)$ 1.0

$z$

2.00 + i

$w$

1.00 + i

Résultat

3.00 + 2.00i

$|z|$

2.236

$\arg(z)$

26.6°

Rappel théorique

Un nombre complexe $z = x + iy$ peut être représenté par un point $(x, y)$ du plan ou par un vecteur. En forme polaire : $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

Addition : $z + w = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$ — correspond à l'addition vectorielle.

Multiplication : $z \cdot w = r_1 r_2 \, e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ — on additionne les arguments et on multiplie les modules.

Inversion : $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ — transformation circle-preserving qui inverse les distances par rapport au cercle unité.