Cone de Lipschitz

Visualisez la condition de Lipschitz : le cone $|f(x)-f(a)| \leq L|x-a|$ et son deplacement le long de la courbe.

Fonction $f(x)$ :

f(x) =

\sin(x)

Position $a$ : 0.00

Coefficient $L$ : 2.00

$f(a)$

-2.00

$|f'(a)|$

0.00

Lipschitzienne de rapport L ?

—

Rappel theorique

Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est $L$-Lipschitz sur $I$ si :

$$\forall\, x, a \in I \;:\quad |f(x) - f(a)| \leq L\,|x - a|$$

Geometriquement, cela signifie que la courbe de $f$ reste toujours a l'interieur du cone de pente $\pm L$ centre en tout point $(a, f(a))$.

Le plus petit $L$ possible est $\sup_{x \neq a} \frac{|f(x)-f(a)|}{|x-a|}$. Si $f$ est derivable, un majorant est $\sup |f'|$.

Si $|f'(a)| > L$ en un point, la courbe sort du cone : la fonction n'est pas $L$-Lipschitz.