Sommes de Riemann & Intégration

Approchez l'intégrale de $f$ par la méthode des rectangles. Ajustez les bornes $a$ et $b$, la méthode et le nombre de subdivisions $n$ pour visualiser la convergence et l'erreur en temps réel.

Fonction $f(x)$ :

f(x) =

Exemples :

Borne $a$ : 0

Borne $b$ : 2

Rectangles ($n$ = 5) :

Méthode :

Somme $S_n$

0.0000

Intégrale exacte $I$

0.0000

Erreur $|S_n - I|$

0.0000

Rappel théorique

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a, b]$. En subdivisant $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles de même largeur $\Delta x = \frac{b-a}{n}$, la somme de Riemann associée est :

$$S_n=\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a + k \frac{b-a}{n}\right)$$

La méthode des trapèzes remplace chaque rectangle par un trapèze dont les côtés parallèles valent $f(x_{k-1})$ et $f(x_k)$ :

$$T_n=\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}{2}$$

Lorsque $n \to +\infty$, cette somme converge vers l'intégrale de la fonction, l'erreur $S_n-I$ converge vers 0 lorsque $n \to +\infty$ :

$$\lim_{n \to +\infty} S_n = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$$