Cercle Trigonométrique

Enroulement de la droite réelle, coordonnées du point image, valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente.

Angle $θ$ : π/3

Angles remarquables :

Angles associés (appliqués à l'angle courant) :

Afficher $\tan θ$

Angle $\theta$

Degrés

60°

$\cos \theta$

$\sin \theta$

$\tan \theta$

Enroulement $w$ : 0

Abscisse $x$ du point : π/3

Points remarquables :

Enroulement $w$

Abscisse $x$

Point $M(x)$

Longueur de l'arc $= x$

Position de $P$

Rappel théorique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre). À tout réel $\theta$ est associé un unique point $M$ du cercle : l'angle au centre $\widehat{AOM}$ mesure $\theta$ radians.

Enroulement de la droite réelle. À tout réel $x$, on associe le point $M(x)$ du cercle tel que la longueur de l'arc $\overset{\frown}{AM}$ vaille $|x|$, l'arc étant parcouru dans le sens direct si $x > 0$, dans le sens indirect sinon. La droite réelle est tangente au cercle au point $A(1\,;0)$. On peut animer cette construction dans l'onglet Construction.

Cosinus et sinus. Si $M$ a pour coordonnées $(x_M\,;\, y_M)$, alors :

$$x_M = \cos\theta \qquad\text{et}\qquad y_M = \sin\theta$$

Tangente. Définie pour $\cos\theta \neq 0$, c'est-à-dire $\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ :

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

Elle se lit sur l'axe des tangentes (tangente au cercle au point $A$).

Angles remarquables.

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\tan\theta$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	indéfini

Angles associés.

$\cos(-\theta) = \cos\theta \quad$ et $\quad \sin(-\theta) = -\sin\theta$
$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \quad$ et $\quad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$
$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \quad$ et $\quad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$
$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \quad$ et $\quad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$

Le cosinus est une fonction paire, le sinus une fonction impaire.