Géométrie sur Surfaces

Explorez les géométries non-euclidiennes : géodésiques, triangles et courbure sur différentes surfaces.

Rotation ($t$ = 0.50)

Taille du triangle ($r$ = 0.40)

Somme des angles

180.0°

Excédent angulaire $S$

0.0°

Aire du triangle

0.000

Courbure $K$

Théorème de Gauss-Bonnet

La géométrie d'une surface est entièrement décrite par sa courbure gaussienne $K$. Le théorème de Gauss-Bonnet relie la géométrie locale (courbure) à la topologie globale :

$$\int_{\mathcal{M}} K \, dA + \oint_{\partial \mathcal{M}} \kappa_g \, ds = 2\pi \chi(\mathcal{M})$$

où $K$ est la courbure gaussienne, $\kappa_g$ la courbure géodésique du bord, et $\chi$ la caractéristique d'Euler de la surface.

Conséquence pour les triangles

Pour un triangle géodésique (dont les côtés sont des géodésiques), la formule du défaut angulaire donne :

$$\alpha + \beta + \gamma - \pi = \int_{\triangle} K \, dA$$

Sur une surface de courbure constante $K$ :

$K = 0$ (plan) : $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ → géométrie euclidienne
$K > 0$ (sphère, rayon $R$) : $\alpha + \beta + \gamma > \pi$ → excédent angulaire $= \text{Aire} / R^2$
$K < 0$ (disque de Poincaré) : $\alpha + \beta + \gamma < \pi$ → défaut angulaire $= |\text{Aire}| \cdot |K|$